旋转矩阵

经常用到旋转矩阵$A=\left[\begin{array}{} \cos\varphi & -\sin\varphi \ \sin\varphi & \cos\varphi\ \end{array} \right]$，最近发现该推导竟然在线性代数第一章出现过我居然忘记了，（突然意识到自己很菜这件事.jpg）现整理一下其推导。

在线性代数中有定理：

设 $T: \mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ 为线性变换，则存在唯一的矩阵 $A$ 使

$$T(\textbf{x})=A\textbf{x},\ 对\mathbb{R}^n中一切\ \textbf{x}$$

$A$ 是 $m\times n$ 矩阵，它的第 j 列是向量 $T(\textbf{e}_j)$，其中 $\textbf{e}_j$ 是单位矩阵 $I_n$ 的第 j 列：

$$A=[T(x_1\textbf{e}_1)\dots T(x_n\textbf{e}_n)]$$

证明：

记 $\textbf{x}=I_n\textbf{x}=[\textbf{e}_1\dots\textbf{e}_n]\textbf{x}=x_1\textbf{e}_1+\dots+x_n\textbf{e}_n$，由于 $T$ 是线性变换，知

$$\begin{align} T(\textbf{x})&=T(x_1\textbf{e}_1+\dots+x_n\textbf{e}_n)\\ &=x_1T(\textbf{e}_1)+\dots+x_nT(\textbf{e}_n)\\ &=[T(\textbf{e}_1)\dots T(\textbf{e}_n))]\left[\begin{array}{} x_1\\ \vdots\\x_n\\ \end{array}\right]\\ &=A\textbf{x} \end{align}$$

旋转矩阵作用效果为逆时针旋转 $\varphi$，即 $\left[\begin{array}{} 1\0\ \end{array}\right]$旋转成$\left[\begin{array}{} \cos\varphi \ \sin\varphi \end{array} \right]$，$\left[\begin{array}{} 0\1\ \end{array}\right]$旋转成$\left[\begin{array}{} -\sin\varphi \ \cos\varphi\ \end{array} \right]$，由上述定理，

$$T(\textbf{e}_1)=\left[\begin{array}{} \cos\varphi \\ \sin\varphi \end{array} \right]\\ T(\textbf{e}_2)=\left[\begin{array}{} -\sin\varphi \\ \cos\varphi\\ \end{array} \right]$$

因而$A=\left[\begin{array}{} \cos\varphi & -\sin\varphi \ \sin\varphi & \cos\varphi\ \end{array} \right]$。