之前的组会中想介绍二阶正定实对称矩阵与椭圆的关系,
虽然从二次型的角度能够很直观地看出,
但是在二阶的情况下引入二次型的概念不是必要的.
组会的听众中每个人的背景也不一样,
引入新的概念对听众而言也是不友好的事情.
所以希望从尽可能少地引入复杂概念的前提下说明实对称矩阵与椭圆如何对应.
准备的过程中发现这么简单又有趣的事情居然找不到参考材料
(大约是太过简单以及二次型普及得太好了), 只好自己写一个了.
首先我们定义什么是椭圆, 椭圆可以由圆通过伸缩变换而来.
对于一个圆心在原点的圆, 对其沿
轴和 轴进行伸缩变换, 再进行旋转,
可以得到一个中心在原点的任意椭圆, 如下图所示.
圆与椭圆
在 坐标系下,
中心在原点的圆的方程为 ,
写成矩阵形式为 放缩后的椭圆对应的方程为 其中
衡量了放缩倍数, 上式也被称为椭圆的标准型. 上式写成矩阵形式为 此时椭圆的长轴和短轴在坐标轴上, 而一个任意椭圆 (中心在原点)
与坐标轴可以有夹角. 对此可以先取一个坐标轴沿椭圆长轴和短轴的坐标 ,
在该坐标下可以写出椭圆的方程为 记向量 和 ,
两坐标系之间的变换可以视作坐标系的转动, 也即 因此有 将其整理为 描述中心在任意位置 的椭圆只需将 变为 即可,
因此可以不失一般性地考虑中心在原点的情况. 从上式可以看出,
椭圆可以通过一个矩阵 来描述,
下面我们说明正定实对称矩阵就是这样的矩阵 .
记正定实对称矩阵 , 其特征值为 ,
特征值构成的对角矩阵为 . 因为
是正定的, 所以有 . 因为 为实对称矩阵,
所以 可以被正交对角化. 也就是说存在正交矩阵 使得 满足 , 其中 为单位矩阵.
以此建立方程组解得正交矩阵可能的形式为, 是旋转矩阵.
也就是我们之前引入的 . 可以注意到,
矩阵 的作用效果是关于 轴作反射变换. 对于对称图形而言,
反射也可以通过旋转实现, 如下图所示.
线性变换
到这里已经足以说明正定实对称矩阵 与矩阵 等价. 但是矩阵
的另一种分解在目前接触到的物理场景中更实用. 为了注意区分, 将 根据其参数记为 , 记为 . 可以被分解为 对于旋转矩阵 ,
所以上式也说明
也等效成一个旋转矩阵. 因此对于正定实对称矩阵 , 方程 描述了一个椭圆.
这个简单的证明过程还传达出另一个有用的信息——对 作正交对角化, 根据以上过程现将其写为
,
对应着将坐标系转到椭圆的长轴和短轴上, 即
补充说明: 如何注意到 有式
和式 的分解.
对于式 的分解,
可以从 和 是两个正交归一的基矢考虑, 旋转矩阵可以写成
, 可以写成 , 所以从旋转矩阵到
是 不变, 取负, 因此可以得到式 . 对于式 的分解,
其实是在说明反射矩阵可以视作先旋转, 再沿坐标轴反射, 再旋转回去.
这在物理学中十分实用,
了解类似的物理场景或者空间变换倒是可以注意到这一点,
但是初衷试图在最简单的背景下介绍矩阵与椭圆,
这个注意到就有点注意力惊人了. 实际上, 式
的分解有必要引入群论来证明, 这又是另外的话题了. 所以即使认为式 更实用,
但是还是保留了式.