线性代数误区

两个遇到的关于线性代数常见的误区. 一个关于矩阵的迹, 一个关于矩阵的逆.

误区 1. 迹的轮换性质

很多地方可能会写, 若 $A,B$ 是方阵, 则 $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$. 很容易给大家一个印象就是 $\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)$ 只在 $A,B$ 为方阵时成立. 事实并非如此.

设 $A$ 是 $p\times q$ 矩阵，$B$ 是 $q\times p$ 矩阵,

$$\begin{equation} \begin{aligned} \mathrm{tr}(A B) &=\mathrm{tr} \left(\left(\sum_{k=1}^{q} a_{i k} b_{k j}\right)\right) \\ &=\sum_{i=1}^{p} \sum_{k=1}^{q} a_{i k} b_{k i} =\sum_{k=1}^{q} \sum_{i=1}^{p} b_{k i} a_{i k} =\sum_{i=1}^{q} \sum_{k=1}^{p} b_{i k} a_{k i} \\ &=\mathrm{tr} \left(\left(\sum_{k=1}^{p} b_{i k} a_{k j}\right)\right) \\ &=\mathrm{tr} (B A). \end{aligned} \end{equation}$$

因此此条性质 $A$, $B$ 只需满足矩阵乘法即可. 类似地, 在满足矩阵乘法的前提下, $\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)=\mathrm{tr}(CAB)$.

误区 2. 矩阵的逆

很多地方直接说对方阵介绍逆的概念, 而没有提为什么逆一定是方阵的概念. 这样很容易忘记形如 $A^{-1}$ 的式子隐含了 $A$ 是方阵的条件.

假设 $m\times n$ 矩阵 $A$ 是可逆矩阵, 存在 $n\times m$ 矩阵 $C$ 和 $D$ 使 $CA=I_n$ 且 $AD=I_m$.

由于 $CA=I_n$, 因此 $CA\vec x=I_n \vec x$, 方程 $A\vec x=\vec 0$ 只有平凡解, $m\geq n$.

由于 $AD=I_m$, 取 $\vec{b}$ 是 $\mathbb{R}^m$ 中任意向量, $AD\vec b=I_m\vec b$, 即 $A(D\vec b)=\vec b$, 因此 $\vec x=D\vec b$ 满足 $A \vec{x}=\vec{b}$, 即 $A \vec{x}=\vec{b}$ 有解, $A$ 在每一行都有一个主元位置, $m\leq n$.

因此 $m=n$.

顺便 $DAC=DI=D=IC=C$, 因此 $C=D$.