线性代数误区

矩阵的轮换不变不需要是方阵, 矩阵可逆一定是方阵.

误区 1. 迹的轮换性质

很多书会表述, 若 是方阵, 则 . 很容易给大家一个印象就是 只在 为方阵时成立. 事实并非如此.

设 是 矩阵， 是 矩阵, 因此此条性质 , 只需满足矩阵乘法即可. 类似地, 在满足矩阵乘法的前提下, . 不过这个误区造不成什么影响, 接触的算符都是幺正的, 幺正算符都是方阵. 就是被老板问的时候答错了:crying_cat_face:.

误区 2. 矩阵的逆

很多地方直接说对方阵介绍逆的概念, 而没有提为什么逆一定是方阵的概念. 这样很容易忘记形如 的式子隐含了 是方阵的条件. 也就是说即使将矩阵的逆采取如下定义:

假设 矩阵 是可逆矩阵, 存在 矩阵 和 使 且 .

也能导出 .

证明如下:

由于 , 因此 , 方程 只有平凡解, .

由于 , 取 是 中任意向量, , 即 , 因此 满足 , 即 有解, 在每一行都有一个主元位置, .

因此 .

顺便 , 因此 .