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高斯积分

推导

任意高斯积分的定积分为

定义函数

高斯积分通过求它的极限得到

对取平方得到

该双重积分可被看作是直角坐标系上一个正方形的面积积分，其顶点为。

这个正方形的内切圆的积分必须小于，外接圆的积分必须大于。通过直角坐标系转化到极坐标系可计算出这两个圆面的积分。

得到

通过夹逼定理获得高斯积分

波函数归一化中可能用到。

谐振子中常常用到。

由于，代入积分

该积分常用于波恩近似。