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高斯积分

推导

$\begin{equation} \int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} \end{equation}$

任意高斯积分的定积分为

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x+b)^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}$

定义函数

$I(a)=\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx$

高斯积分通过求它的极限得到

$\lim_{a\to\infty}I(a)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$

对 $I(a)$ 取平方得到

$\begin{equation} \begin{aligned} I^2(a)&=(\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx)\cdot(\int_{-a}^ae^{-y^2}dy)\\ &=\int_{-a}^{a}(\int_{-a}^{a}e^{-y^2}dy)e^{-x^2}dx\\ &=\int_{-a}^{a}\int_{-a}^{a}e^{-(x^2+y^2)}dxdy \end{aligned} \end{equation}$

该双重积分可被看作是直角坐标系上一个正方形的面积积分 $\int e^{-(x^2+y^2)}d(x,y)$，其顶点为 ${(-a,a),(a,a),(a,-a),(-a,-a)}$。

这个正方形的内切圆的积分必须小于 $I^2(a)$，外接圆的积分必须大于 $I(a)^2$。通过直角坐标系转化到极坐标系可计算出这两个圆面的积分。

$\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}drd\theta<I^2(a)<\int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}drd\theta$

得到

$\pi(1-e^{-a^2})<I^2(a)<\pi(1-e^{-2a^2})$

通过夹逼定理获得高斯积分

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}$

推广

$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx+c}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}+c}$

波函数归一化中可能用到。

$\int_0^\infty x^{2n}e^{-\frac{x^2}{a^2}}dx=\sqrt{\pi}\frac{a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}$

谐振子中常常用到。

$\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-\frac{x^2}{a^2}}dx=\frac{n!}{2}a^{2n+2}$

散射

$I=\int_0^\infty e^{-\mu r}\sin kr dr$

由于 $\sin(kr)=\frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2i}$，代入积分

$\begin{aligned} I&=\int_0^\infty e^{-\mu r} \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2i} dr\\ &=\frac{1}{2i}(\int_0^\infty e^{(ik-\mu)r}dr-\int_0^\infty e^{(-ik-\mu)}dr)\\ &=\frac{1}{2i}\left[\frac{e^{(ik-\mu)r}}{ik-\mu}+\frac{e^{(-ik-u)r}}{ik+u}\right]_0^\infty\\ &=\frac{1}{2i(-k^2-u^2)}\left[e^{(ik-\mu)r}(ik+\mu)+e^{(-ik-\mu)r}(ik-\mu)\right]_0^\infty\\ &=\frac{1}{-2i(k^2+u^2)}(-(ik+\mu)-(ik-u)))\\ &=\frac{k}{k^2+u^2} \end{aligned}$

该积分常用于波恩近似。

$I=\int_0^\infty\sin qrdr$

$\begin{aligned} I&=\int_0^\infty\sin qrdr\\ &=\lim_{\beta\to 0}e^{-\beta r}\sin qr dr\\ &=\lim_{\beta\to 0}\frac{q}{\beta^2+q^2}\\ &=\frac{1}{q} \end{aligned}$