1

$\int (x^2+r^2)^{(-\frac{3}{2})}dx$

解：令 $x=r\tan t$，

$\begin{align} 原式&=\int \frac{1}{r^3\sec ^3t}d(r\tan t)\\ &=r^{-2}\int \frac{1}{\sec^3 t}d\tan t\\ &=r^{-2}\int \cos tdt\\ &=r^{-2}\sin t+C \end{align}$ $\int (x^2+r^2)^{(-\frac{3}{2})}dx=\frac{1}{r^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+r^2}}+C$

被这个积分困住很久，主要原因在于忘记了 $\tan^2x+1=sec^2x$，以及第二类换元不熟悉。

第二类换元法

若含有 $\sqrt{a^2-x^2}$，令 $x=a\sin t, t\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})$

若含有 $\sqrt{a^2+x^2}$，令 $x=a\tan t$

若含有 $\sqrt{x^2-a^2}$，令 $x=a\sec t$

2

$\int\sqrt{\frac{x_0x}{x_0-x}}dx$

解：

$\begin{align} 原式&=\int \sqrt{\frac{\frac{x}{x_0}x_0}{1-\frac{x}{x_0}}}d \frac{x}{x_0}\\ \end{align}$

令 $ \frac{x}{x_0}=a$，现求解积分$I=\int \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{1-a}}da$

令 $a=\sin^2t$，$da=2\sin t\cos tdt$，

$\begin{align} I&=\int\frac{\sin t}{\cos t}\cdot 2\sin t\cos tdt\\ &=2\int \sin^2tdt\\ &=\int (1-\cos 2t)dt\\ &=t-\frac{1}{2}\sin 2t+C \end{align}$ $\sin 2t=2\sin t\cos t=2\sqrt{a}\sqrt{1-a}$ $原式=\sqrt{x_0}(x_0\arcsin \sqrt{\frac{x}{x_0}}-\sqrt{x}\sqrt{x_0-x})+C$

这个其实还是第二类换元这同一块石头，被坑住是因为看到 $\frac{1}{\sqrt{1-a}}$ 以及答案有 $\arcsin$ ，就想分部积分。

3

$\int \frac{dz}{\sqrt{z^2+a^2}}$

解：

令 $z=a \tan t$，

$\begin{align} 原式&=\int\frac{1}{a\sqrt{\tan^2 t+1}}d(a\tan t)\\ &=\int\sec tdt\\ &=\int \sec t \frac{\sec t+\tan t}{\sec t+\tan t}dt\\ &=\int\frac{(\sec t\tan t+\sec^2 t)}{\sec t+\tan t}dt\\ &=\ln (\sec t+\tan t)+C \end{align}$

$原积分= \ln(z+\sqrt{z^2+a^2})+C$

这个是因为不知道 $\sec x$ 如何积分。

另外在计算三角函数时，除了通过恒等式进行计算，可以直接将对应边长的三角形画出计算三角函数。